Question

【题目】如图所示，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD=60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA= ．
（Ⅰ）证明：平面PBE⊥平面PAB；
（Ⅱ）求二面角A﹣BE﹣P的大小．

Answer 1

【答案】证明：（I）如图所示，连接BD，由ABCD是菱形且∠BCD=60°知，
△BCD是等边三角形．因为E是CD的中点，所以BE⊥CD，又AB∥CD，所以BE⊥AB，
又因为PA⊥平面ABCD，BE平面ABCD，
所以PA⊥BE，而PA∩AB=A，因此 BE⊥平面PAB．
又BE平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB．
解：（II）由（I）知，BE⊥平面PAB，PB平面PAB，所以PB⊥BE．
又AB⊥BE，所以∠PBA是二面角A﹣BE﹣P的平面角．
在Rt△PAB中，．．
故二面角A﹣BE﹣P的大小为60°．

【解析】（I）连接BD，由已知中四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD=60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，我们可得BE⊥AB，PA⊥BE，由线面垂直的判定定理可得BE⊥平面PAB，再由面面平行的判定定理可得平面PBE⊥平面PAB；
（II）由（I）知，BE⊥平面PAB，进而PB⊥BE，可得∠PBA是二面角A﹣BE﹣P的平面角．解Rt△PAB即可得到二面角A﹣BE﹣P的大小．
【考点精析】利用平面与平面垂直的判定对题目进行判断即可得到答案，需要熟知一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．