Question

【题目】已知三棱柱ABC﹣A′B′C′，侧棱与底面垂直，且所有的棱长均为2，E为AA′的中点，F为AB的中点． （Ⅰ）求多面体ABCB′C′E的体积；
（Ⅱ）求异面直线C'E与CF所成角的余弦值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）直三棱柱ABC﹣A′B′C′的体积V= =2 ． 三棱锥E﹣A′B′C′的体积V1= A′E= = ．
∴多面体ABCB′C′E的体积=V﹣V1= ；
（Ⅱ）如图所示，取A′B′的中点D，连接C′D，DF，DE．

可得四边形CFDC′是矩形．
∴C′D∥CF．
∴∠EC′D即是异面直线C′E与CF所成角．
在Rt△C′DE中，C′D= ，C′E= ．
∴cos∠EC′D= = = ．
∴异面直线C′E与CF所成角的余弦值为 ．
【解析】（Ⅰ）分别求出直三棱柱ABC﹣A′B′C′的体积V．三棱锥E﹣A′B′C′的体积V1 ． 即可得出多面体ABCB′C′E的体积=V﹣V1；（Ⅱ）如图所示，取A′B′的中点D，连接C′D，DF，DE．可得四边形CFDC′是矩形．C′D∥CF．因此∠EC′D即是异面直线C′E与CF所成角．
【考点精析】掌握异面直线及其所成的角是解答本题的根本，需要知道异面直线所成角的求法：1、平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线；2、补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系．