题目内容
已知椭圆C:
+
=1,直线l过点M(m,0).
(Ⅰ)若直线l交y轴于点N,当m=-1时,MN中点恰在椭圆C上,求直线l的方程;
(Ⅱ)如图,若直线l交椭圆C于A,B两点,当m=-4时,在x轴上是否存在点p,使得△PAB为等边三角形?若存在,求出点p坐标;若不存在,请说明理由.
x2 |
4 |
y2 |
3 |
(Ⅰ)若直线l交y轴于点N,当m=-1时,MN中点恰在椭圆C上,求直线l的方程;
(Ⅱ)如图,若直线l交椭圆C于A,B两点,当m=-4时,在x轴上是否存在点p,使得△PAB为等边三角形?若存在,求出点p坐标;若不存在,请说明理由.
(Ⅰ)设点N(0,n),则MN的中点为(-
,
),
∴
+
=1,解得n=±
,
所以直线l的方程为:y=±
(x+1).
(Ⅱ)假设在x轴上存在点P,使得△PAB为等边三角形.
设直线l为x=ty-4,A(x1,y1),B(x2,y2),
则
,∴(3t2+4)y2-24ty+36=0,
∴y1+y2=
,y1y2=
,△=144(t2-4)>0,
∴AB中点为(
,
),
∴AB的中垂线为:y-
=-t(x+
),
∴点P为(-
,0),∴P到直线l的距离d=
=
,
∵|AB|=
,
∴
=
•
,
∴t=±
,
∴存在点P为(-
,0).
1 |
2 |
n |
2 |
∴
(-
| ||
4 |
(
| ||
3 |
3 |
2 |
5 |
所以直线l的方程为:y=±
3 |
2 |
5 |
(Ⅱ)假设在x轴上存在点P,使得△PAB为等边三角形.
设直线l为x=ty-4,A(x1,y1),B(x2,y2),
则
|
∴y1+y2=
24t |
3t2+4 |
36 |
3t2+4 |
∴AB中点为(
-16 |
3t2+4 |
12t |
3t2+4 |
∴AB的中垂线为:y-
12t |
3t2+4 |
16 |
3t2+4 |
∴点P为(-
4 |
3t2+4 |
|
| ||
|
12
| ||
3t2+4 |
∵|AB|=
12
| ||
3t2+4 |
1+t2 |
∴
12
| ||
3t2+4 |
| ||
2 |
12
| ||
3t2+4 |
1+t2 |
∴t=±
4
| ||
3 |
∴存在点P为(-
1 |
5 |
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