题目内容
【题目】如图,在三棱锥P-ABC中,已知,顶点P在平面ABC上的射影为的外接圆圆心.
(1)证明:平面平面ABC;
(2)若点M在棱PA上,,且二面角P-BC-M的余弦值为,试求的值.
【答案】(1)证明见解析 (2)
【解析】
(1)设的中点为,连接,易知点为的外接圆圆心,从而平面,即可证明平面平面ABC;
(2)以,,所在直线分别为轴,轴,轴建立如图所示的空间直角坐标系, 求出平面与平面的法向量,代入公式即可建立的方程,解之即可.
(1)证明:如图,设的中点为,连接,
由题意,得,则为直角三角形,
点为的外接圆圆心.
又点在平面上的射影为的外接圆圆心,
所以平面,
又平面,所以平面平面.
(2)解:由(1)可知平面,
所以,,,
于是以,,所在直线分别为轴,轴,轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,,,,
设,
,,
设平面的法向量为,
则得
令,得,,
即.
设平面的法向量为,
由得
令,得,,即
解得即M为PA的中点.
练习册系列答案
相关题目