题目内容
【题目】如图,在三棱锥P-ABC中,已知,顶点P在平面ABC上的射影为
的外接圆圆心.
(1)证明:平面平面ABC;
(2)若点M在棱PA上,,且二面角P-BC-M的余弦值为
,试求
的值.
【答案】(1)证明见解析 (2)
【解析】
(1)设的中点为
,连接
,易知点
为
的外接圆圆心,从而
平面
,即可证明平面
平面ABC;
(2)以,
,
所在直线分别为
轴,
轴,
轴建立如图所示的空间直角坐标系, 求出平面
与平面
的法向量,代入公式即可建立
的方程,解之即可.
(1)证明:如图,设的中点为
,连接
,
由题意,得,则
为直角三角形,
点为
的外接圆圆心.
又点在平面
上的射影为
的外接圆圆心,
所以平面
,
又平面
,所以平面
平面
.
(2)解:由(1)可知平面
,
所以,
,
,
于是以,
,
所在直线分别为
轴,
轴,
轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则,
,
,
,
,
设,
,
,
设平面的法向量为
,
则得
令,得
,
,
即.
设平面的法向量为
,
由得
令,得
,
,即
解得即M为PA的中点.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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