题目内容
【题目】已知函数.
(1)若对
恒成立,求
的取值集合;
(2)在函数的图像上取定点
,记直线AB的斜率为K,证明:存在
,使
恒成立;
【答案】(1);(2)见解析
【解析】
(1)对一切x>0,f(x)≤恒成立,即对一切x>0,
恒成立,构造新函数,求出函数的最值,即可求得结论;
(2)要证明存在x0∈(x1,x2),使f′(x0)=k成立,只要证明f′(x)﹣k=0在(x1,x2)内有解即可.
(1)解:对一切x>0,f(x)≤恒成立,
即对一切x>0,恒成立,
令,则
令g′(x)>0,可得0<x<;令g′(x)<0,可得x>
,
∴x=时,g(x)取得最大值g(
)
∴;
令,
,
在
上单调递减,在在
上单调递增,
∴,又
,
∴
∴的取值集合
;
(2)证明:由题意,k
要证明存在x0∈(x1,x2),使f′(x0)=k成立,只要证明f′(x)﹣k=0在(x1,x2)内有解即可
令h(x)=f′(x)﹣k,只要证明h(x)在(x1,x2)内存在零点即可
∵h(x)在(x1,x2)内是减函数,只要证明h(x1)>0,h(x2)<0
即证0,
0
令F(t)=t﹣1﹣lnt(t>0),∵F′(t)=1,∴函数在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增
∴函数在t=1时,取得最小值0,∴F(t)≥0
∵0且
;
0且
1
∴0,
0
∴结论成立.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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