题目内容

2.已知函数f(x)=(ax2+x-1)ex,g(x)=$\frac{1}{3}$x3+$\frac{1}{2}$x2+m.
(Ⅰ)当a<0时,求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)当a=-1时,若函数h(x)=f(x)-g(x)有3个不同的零点,求实数m的取值范围.

分析 (Ⅰ)先求出函数f(x)的导函数f′(x),然后讨论a与0的大小关系,在函数的定义域内解不等式f′(x)>0和f′(x)<0,即可求出函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)求出h(x)的导数,求出单调区间、极值,函数h(x)有3个不同的零点,即有h(-1)<0,且h(0)>0,解出即可

解答 解:(1)∵f′(x)=ex(ax2+x+1+2ax+1)=axex(x+$\frac{2a+1}{a}$),且a<0,
∴当a∈(-$\frac{1}{2}$,0)时,f(x)在(-∞,0)上是减函数,在(0,-$\frac{2a+1}{a}$)上是增函数,在(-$\frac{2a+1}{a}$,+∞)上是减函数,
当a=-$\frac{1}{2}$时,f(x)在(-∞,+∞)上单调递减;
当a∈(-∞,-$\frac{1}{2}$)时,f(x)在(-∞,-$\frac{2a+1}{a}$)上是减函数,在(-$\frac{2a+1}{a}$,0)上是增函数,在(0,+∞)上是减函数;
(2)由h(x)=f(x)-g(x)=(-x2+x-1)ex-($\frac{1}{3}$x3+$\frac{1}{2}$x2+m),
则h′(x)=(-2x+1)ex+(-x2+x-1)ex-(x2+x)=-(ex+1)(x2+x),
令h′(x)>0得-1<x<0,令h′(x)<0得x>0或x<-1,
∴h(x)在x=-1处取得极小值h(-1)=-$\frac{3}{e}$-$\frac{1}{6}$-m,在x=0处取得极大值h(0)=-1-m,
∵函数f(x),g(x)的图象有三个交点,即函数h(x)有3个不同的零点,
∴$\left\{\begin{array}{l}{h(-1)<0}\\{h(0)>0}\end{array}\right.$即 $\left\{\begin{array}{l}{-\frac{3}{e}-\frac{1}{6}-m<0}\\{-1-m>0}\end{array}\right.$,
解得:-$\frac{3}{e}$-$\frac{1}{6}$<m<-1.

点评 本题考查导数的运用:求切线方程和求单调区间、极值和最值,考查构造函数,运用导数求极值,考虑极值的正负来判断函数的零点,属于中档题.

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