题目内容
20．知a1=1，an+1=$\frac{a_n}{{3{a_n}+1}}$，则数列{an}的通项为an=（ ）| A． | $\frac{1}{2n-1}$ | B． | 2n-1 | C． | $\frac{1}{3n-2}$ | D． | 3n-2 |
分析 通过an+1=$\frac{a_n}{{3{a_n}+1}}$，可得3an+1an=an-an+1，进而有3=$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$．
解答 解：∵an+1=$\frac{a_n}{{3{a_n}+1}}$，∴3an+1an=an-an+1，
两边同除以an+1an得：3=$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$，
由a1=1，∴$\frac{1}{{a}_{1}}$=1，
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是首项为1，公差均为3的等差数列，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+3（n-1）=3n-2，
∴an=$\frac{1}{3n-2}$，
故选：C．
点评 本题考查数列的递推公式，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．
练习册系列答案
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11．设f（x）=cos2x-$\sqrt{3}$sin2x，把y=f（x）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位后，恰好得到函数g（x）=-cos2x-$\sqrt{3}$sin2x的图象，则φ的值可以为（ ）
| A． | $\frac{π}{6}$ | B． | $\frac{π}{3}$ | C． | $\frac{2π}{3}$ | D． | $\frac{5π}{6}$ |
12．若不等式组$\left\{\begin{array}{l}x-y+2≥0\\ x-5y+10≤0\\ x+y-8≤0\end{array}\right.$所表示的平面区域存在点（x0，y0）使x0+ay0+2≤0成立，则实数a的取值范围是（ ）
| A． | a＞1 | B． | a＞-1 | C． | a≤1 | D． | a≤-1 |
9．设函数f（x）=2x3+3ax2+3bx+8c在x=1及x=2时取得极值，若对于任意的x∈[0，3]，都有f（x）＜c2成立，则实数c的取值范围为（ ）
| A． | （-1，9） | B． | （-9，1） | C． | （-∞，-1）∪（9，+∞） | D． | （-∞，-9）∪（1，+∞） |