题目内容
【题目】已知函数f(x)=Asin(ωx﹣ )+1(A>0,ω>0)的最大值为3,其图象的相邻两条对称轴之间的距离为
.
(1)求函数f(x)对称中心的坐标;
(2)求函数f(x)在区间[0, ]上的值域.
【答案】
(1)解:因为A>0,所以f(x)max=A+1=3,
所以A=2,
又因为f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为 ,
所以 =
,
所以T=π,
故ω= =2,
所以f(x)=2sin(2x﹣ )+1.
令2x﹣ =kπ(k∈Z),
所以x= +
(k∈Z),
故对称中心为( +
,1)(k∈Z);
(2)解:∵x∈[0, ],
∴2x﹣ ∈[﹣
,
],
∴sin(2x﹣ )∈[
,1],
∴f(x)=2sin(2x﹣ )+1∈[0,3]
所以函数f(x)在区间[0, ]上的值域为:[0,3].
【解析】首先根据函数的最值和对称轴之间的距离确定A和ω,进一步求出正弦型函数的解析式.(1)根据正弦函数图象性质求得函数f(x)对称中心的坐标;(2)根据正弦函数图象的性质求值域.
【考点精析】通过灵活运用正弦函数的单调性和正弦函数的对称性,掌握正弦函数的单调性:在上是增函数;在
上是减函数;正弦函数的对称性:对称中心
;对称轴
即可以解答此题.

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