题目内容
如图,在直三棱柱
中,
,
,
分别是
的中点,点
在
上,且
,则二面角
的余弦值为 ;点
到平面
的距离为 。













方法一:如图,取
的中点
,连结
,则
。

∵三棱柱
为在直三棱柱,
∴
面
,∴
。
过
作
于
,连结
,则
。
∴
为二面角
的平面角。
在
中,
,
,则
,得
。
而二面角
与二面角
互补,故二面角
的余弦值为
。
设点
到平面
的距离为
,由
,得
,即
,∴
。
∵点
是
的中点,∴
到平面
的距离与点
到平面
的距离相等,为
。
方法二:建立如图所示直角坐标系
,则
,
,
,
,
,
。

向量
为平面
的一个法向量。
,
。
设
为平面
的法向量,则
,即
,取
,得平面
的一个法向量为
。
得
。由图知,二面角
为钝角,故二面角
的余弦值为
。
,则点
到平面
的距离为
。





∵三棱柱

∴



过





∴


在





而二面角




设点







∵点







方法二:建立如图所示直角坐标系








向量




设







得









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