Question

如图，在直三棱柱中，，，分别是的中点，点在上，且，则二面角的余弦值为          ；点到平面的距离为           。

Answer 1

方法一：如图，取的中点，连结，则。

∵三棱柱为在直三棱柱，
∴面，∴。
过作于，连结，则。
∴为二面角的平面角。
在中，，，则，得。
而二面角与二面角互补，故二面角的余弦值为。
设点到平面的距离为，由，得，即，∴。
∵点是的中点，∴到平面的距离与点到平面的距离相等，为。
方法二：建立如图所示直角坐标系，则，,，，，。

向量为平面的一个法向量。
，。
设为平面的法向量，则，即，取，得平面的一个法向量为。
得。由图知，二面角为钝角，故二面角的余弦值为。
，则点到平面的距离为。