Question

8．椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的面积为πab．

Answer 1

分析 依据椭圆的对称性，只要求出椭圆在第一角限内部分的面积即可，利用定积分的几何意义，即求出S=4${∫}_{0}^{a}$ydx=4${∫}_{0}^{a}$$\frac{b}{a}$$\sqrt{{a}^{2}-{x}^{2}}$dx，由三角换元即得面积．

解答 解：因为椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）关于x轴和y轴都是对称的，
所以所求之面积为S=4${∫}_{0}^{a}$ydx=4${∫}_{0}^{a}$$\frac{b}{a}$$\sqrt{{a}^{2}-{x}^{2}}$dx，
令x=asinθ（0≤θ≤$\frac{π}{2}$），
则$\sqrt{{a}^{2}-{x}^{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}-{a}^{2}si{n}^{2}θ}$=acosθ，
dx=acosθdθ，
∴S=4${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}$$\frac{b}{a}$•acosθ•acosθdθ=4ab${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}$（cosθ）²dθ
=4ab${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}$$\frac{1+cos2θ}{2}$dθ=2ab[（θ+（$\frac{1}{2}$sin2θ）]|${\;}_{0}^{\frac{π}{2}}$=πab．
故答案为：πab．

点评 本题考查运用定积分求面积，其关键是确定出被积函数和积分的上、下限．一般是应先根据题意，借助图形的直观性确定出被积函数，求出两条曲线的交点的坐标确定积分的上、下限，进而由定积分求出其面积．