题目内容
18．
已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P为双曲线右支上一点，直线PF1与圆x2+y2=a2相切，且|PF2|=|F1F2|，则该双曲线的离心率e是$\frac{5}{3}$．
分析 设直线PF1与圆x2+y2=a2相切于点M，取PF1的中点N，连接NF2，由切线的性质和等腰三角形的三线合一，运用中位线定理和勾股定理，可得|PF1|=4b，再由双曲线的定义和a，b，c的关系及离心率公式，计算即可得到．
解答 
解：设直线PF1与圆x2+y2=a2相切于点M，
则|OM|=a，OM⊥PF1，
取PF1的中点N，连接NF2，
由于|PF2|=|F1F2|=2c，则NF2⊥PF1，|NP|=|NF1|，
由|NF2|=2|OM|=2a，
则|NP|=2b，
即有|PF1|=4b，
由双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=2a，
即4b-2c=2a，即2b=c+a，
4b2=（c+a）2，即4（c2-a2）=（c+a）2，
4（c-a）=c+a，即3c=5a，
则e=$\frac{5}{3}$．
故答案为：$\frac{5}{3}$．
点评 本题考查双曲线的方程和性质，考查离心率的求法，运用中位线定理和双曲线的定义是解题的关键．
练习册系列答案
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9．已知P（2，4）在双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的渐近线上，则该双曲线的离心率为（ ）
| A． | $\sqrt{5}$ | B． | 2 | C． | $\sqrt{3}$ | D． | $\sqrt{2}$ |