题目内容
（2011•湖北）如图，已知正三棱柱ABC=A1B1C1的各棱长都是4，E是BC的中点，动点F在侧棱CC1上，且不与点C重合．
（1）当CF=1时，求证：EF⊥A1C；
（2）设二面角C﹣AF﹣E的大小为θ，求tanθ的最小值．
（1）当CF=1时，求证：EF⊥A1C；
（2）设二面角C﹣AF﹣E的大小为θ，求tanθ的最小值．
（1）见解析 （2）
（1）过E作EN⊥AC于N，连接EF，NF，AC1，由直棱柱的性质可知，底面ABC⊥侧面A1C
∴EN⊥侧面A1C
NF为EF在侧面A1C内的射影
在直角三角形CNF中，CN=1
则由
，得NF∥AC1，又AC1⊥A1C，故NF⊥A1C
由三垂线定理可知EF⊥A1C
（2）连接AF，过N作NM⊥AF与M，连接ME
由（1）可知EN⊥侧面A1C，根据三垂线定理得EM⊥AF
∴∠EMN是二面角C﹣AF﹣E的平面角即∠EMN=θ
设∠FAC=α则0°＜α≤45°，
在直角三角形CNE中，NE=
，在直角三角形AMN中，MN=3sinα
故tanθ=
，又0°＜α≤45°∴0＜sinα≤
故当α=45°时，tanθ达到最小值，
tanθ=，此时F与C1重合
∴EN⊥侧面A1C
NF为EF在侧面A1C内的射影
在直角三角形CNF中，CN=1
则由
，得NF∥AC1，又AC1⊥A1C，故NF⊥A1C由三垂线定理可知EF⊥A1C
（2）连接AF，过N作NM⊥AF与M，连接ME
由（1）可知EN⊥侧面A1C，根据三垂线定理得EM⊥AF
∴∠EMN是二面角C﹣AF﹣E的平面角即∠EMN=θ
设∠FAC=α则0°＜α≤45°，
在直角三角形CNE中，NE=
，在直角三角形AMN中，MN=3sinα故tanθ=
，又0°＜α≤45°∴0＜sinα≤故当α=45°时，tanθ达到最小值，
tanθ=
，此时F与C1重合
练习册系列答案
相关题目
的侧棱与底面垂直，且
，
，
，
，点
、
、
分别为
、
、
的中点．
平面
；
面
；
的距离.
是边长为2的正方形，
平面
，
,且
.
平面
;
平面
;
的体积。
中，侧棱
底面
,
为
的中点,
,
.
平面
；
的体积.
各棱所在直线中，与棱
所在直线互为异面直线的有 条．
为60°，A、B是棱
上的两点，AC、BD分别在半平面
内，
，
，且AB＝AC＝
，BD＝
，则CD的长为( )
C．
