题目内容

【题目】设圆，直线.

（1）求证： ，直线与圆总有两个不同的交点；

（2）设与圆交于不同的两点，求弦中点的轨迹方程；

（3）若点分弦所得的向量满足，求此时直线的方程.

【答案】（1）见解析（2）（3）或.

【解析】【试题分析】（1）由于直线过定点，而这个点在圆内，故直线与圆总有两个不同的交点.（2）设，利用，利用两个向量数量积为令列方程，化简可得的轨迹方程.（3）设出两点的坐标，利用可得两者横坐标的关系，联立直线的方程和圆的方程，写出韦达定理，由此解得，进而求得的方程.

【试题解析】

（1）直线恒过定点，且它在圆内.

（2）设，当不与重合时，连接，可得的轨迹方程为： .

（3）设， ， ，得.

将直线与圆的方程联立得： .

∴，可得.

故直线的方程为或.

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