Question

1．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（3+a）x+\frac{17}{3}，x≤3}\\{\frac{2x+a+4}{x-1}，x＞3}\end{array}\right.$，若数列{a_n}满足a_n=f（n），且{a_n}单调递减，则实数a的取值范围为（　　）

• A． （-4，-3）
• B． [-4，-3）
• C． [-$\frac{17}{3}$，-3）
• D． （-$\frac{17}{3}$，-3）

Answer 1

分析 由x＞3时，f（x）=2+$\frac{a+6}{x-1}$单调递减，可得a+6＞0．由{a_n}单调递减，可得$\left\{\begin{array}{l}{3+a＜0}\\{3（3+a）+\frac{17}{3}＞\frac{2×4+a+4}{4-1}}\end{array}\right.$，解出即可．

解答 解：x＞3时，f（x）=$\frac{2（x-1）+a+6}{x-1}$=2+$\frac{a+6}{x-1}$单调递减，∴a+6＞0．
∵{a_n}单调递减，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3+a＜0}\\{3（3+a）+\frac{17}{3}＞\frac{2×4+a+4}{4-1}}\end{array}\right.$，且a+6＞0，解得-4＜a＜-3．
故选：A．

点评 本题考查了数列的单调性、一次函数的单调性、反比例函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．