题目内容
10.函数y=$\frac{2sinx-1}{2+sinx}$(x∈[$\frac{π}{6}$,$\frac{5}{6}$π])的值域为[$\frac{8}{5}$,$\frac{5}{3}$].分析 由题意可得t=sinx∈[$\frac{1}{2}$,1],可得y=$\frac{2sinx-1}{2+sinx}$=$\frac{2t-1}{2+t}$=2-$\frac{5}{2+t}$,由不等式的性质可得.
解答 解:∵x∈[$\frac{π}{6}$,$\frac{5}{6}$π],∴t=sinx∈[$\frac{1}{2}$,1],
∴y=$\frac{2sinx-1}{2+sinx}$=$\frac{2t-1}{2+t}$=$\frac{2(2+t)-5}{2+t}$=2-$\frac{5}{2+t}$,
∵t∈[$\frac{1}{2}$,1],∴2+t∈[$\frac{5}{2}$,3],
∴$\frac{5}{2+t}$∈[$\frac{1}{3}$,$\frac{2}{5}$],∴-$\frac{5}{2+t}$∈[-$\frac{2}{5}$,-$\frac{1}{3}$],
∴2-$\frac{5}{2+t}$∈[$\frac{8}{5}$,$\frac{5}{3}$],
∴函数的值域为:[$\frac{8}{5}$,$\frac{5}{3}$]
故答案为:[$\frac{8}{5}$,$\frac{5}{3}$]
点评 本题考查三角函数的最值,换元并分离常数利用不等式的性质是解决问题的关键,属中档题.
练习册系列答案
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