Question

【题目】如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．
（1）证明：MN∥平面PAB；
（2）求点M到平面PBC的距离．

Answer 1

【答案】
（1）证明：设PB的中点为Q，连接AQ，NQ；

∵N为PC的中点，Q为PB的中点，∴QN∥BC且QN= BC=2，

又∵AM=2MD，AD=3，∴AM= AD=2 且AM∥BC，

∴QN∥AM且QN=AM，

∴四边形AMNQ为平行四边形，

∴MN∥AQ．

又∵AQ平面PAB，MN平面PAB，

∴MN∥平面PAB；

（2）解：在Rt△PAB，Rt△PAC中，PA=4，AB=AC=3，

∴PB=PC=5，又BC=4，取BC中点E，连接PE，则PE⊥BC，且PE= = ，

∴S△PBC= ×BC×PE= ×4× =2 ．

设点M到平面PBC的距离为h，则VM﹣PBC= ×S△PBC×h= h．

又VM﹣PBC=VP﹣MBC=VP﹣DBC ×S△ABC×PA= × ×4× ×4= ，

即 h= ，得h= ．

∴点M到平面PBC的距离为为 ．

【解析】（1）设PB的中点为Q，连接AQ，NQ，由三角形中位线定理结合已知可得四边形AMNQ为平行四边形，得到MN∥AQ．再由线面平行的判定可得MN∥平面PAB；（2）在Rt△PAB，Rt△PAC中，由已知求解直角三角形可得PE= = ，进一步得到S△PBC ． 然后利用等积法求得点M到平面PBC的距离．
【考点精析】本题主要考查了直线与平面平行的判定的相关知识点，需要掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行才能正确解答此题．