题目内容
【题目】已知椭圆短轴端点和两个焦点的连线构成正方形,且该正方形的内切圆方程为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)若抛物线的焦点与椭圆
的一个焦点
重合,直线
与抛物线
交于两点
,且
,求
的面积的最大值.
【答案】(1);(2)
.
【解析】试题分析:(1)先写出一个短轴端点与一个焦点的直线方程可以是,即
,利用圆心到直线距离等于半径,列方程求解即可;
(2)抛物线的焦点在
轴的正半轴上,故
,故
,抛物线
的方程为
,由
,可得
,设点
,则
,
代入求出关于
的表达式,利用判别式大于0
的范围,求值域即可.
试题解析:
(1) 设椭圆的焦距为,则由条件可得
,连接一个短轴端点与一个焦点的直线方程可以是
,即
,由直线与圆相切可得
,故
,则
,故椭圆
的方程为
.
(2) 抛物线的焦点在
轴的正半轴上,故
,故
,抛物线
的方程为
,由
,可得
,由直线
与抛物线
有两个不同交点可得
在
时恒成立,设点
,则
,则
,又点
到直线
的距离为
,故
的面积为
.令
,则
,令
,可得
或
,故
在
上单调递增,在
上单调递减,故
时,
取最大值
,则
的面积取最大值为
.

【题目】某班同学利用国庆节进行社会实践,对[25,55]岁的人群随机抽取人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查,若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”,否则称为“非低碳族”,得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图:
组数 | 分组 | 低碳族的人数 | 占本组的频率 |
第一组 | [25,30) | 120 | 0.6 |
第二组 | [30,35) | 195 | |
第三组 | [35,40) | 100 | 0.5 |
第四组 | [40,45) | 0.4 | |
第五组 | [45,50) | 30 | 0.3 |
第六组 | [50,55] | 15 | 0.3 |
(1)补全频率分布直方图并求 的值;
(2)从年龄段在[40,50)的“低碳族”中采用分层抽样法抽取6人参加户外低碳体验活动,其中选取2人作为领队,求选取的2名领队中恰有1人年龄在[40,45)岁的概率.
【题目】甲,乙两台机床同时生产一种零件,其质量按测试指标划分:指标大于或等于95为正品,小于95为次品,现随机抽取这两台车床生产的零件各100件进行检测,检测结果统计如下:
测试指标 | |||||
机床甲 | 8 | 12 | 40 | 32 | 8 |
机床乙 | 7 | 18 | 40 | 29 | 6 |
(1)试分别估计甲机床、乙机床生产的零件为正品的概率;
(2)甲机床生产一件零件,若是正品可盈利160元,次品则亏损20元;乙机床生产一件零件,若是正品可盈利200元,次品则亏损40元,在(1)的前提下,现需生产这种零件2件,以获得利润的期望值为决策依据,应该如何安排生产最佳?