题目内容
【题目】如图,四边形ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,PD∥QA,QA=AB=PD.
(I)证明:平面PQC⊥平面DCQ
(II)求二面角Q-BP-C的余弦值.
【答案】(I)证明见解析;(II).
【解析】
首先根据题意以D为坐标原点,线段DA的长为单位长,为x、y、z轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz;(Ⅰ)根据坐标系,求出
的坐标,由向量积的运算易得
;进而可得PQ⊥DQ,PQ⊥DC,由面面垂直的判定方法,可得证明;(Ⅱ)依题意结合坐标系,可得B、
的坐标,进而求出平面的PBC的法向量
与平面PBQ法向量
,进而求出cos<
,
>,根据二面角与其法向量夹角的关系,可得答案.
如图,以D为坐标原点,线段DA的长为单位长,为x、y、z轴建立空间直角坐标系
.
(Ⅰ)依题意有,
,
,
则,
,
,所以
,
,
即⊥
,
⊥
.且
,
故⊥平面
.
又平面
,所以平面
⊥平面
.
(II)依题意有,
=
,
=
.
设是平面
的法向量,则
即
因此可取
设是平面
的法向量,则
可取所以
,
且由图形可知二面角为钝角
故二面角的余弦值为
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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