题目内容
【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，点
在抛物线
上，直线
与抛物线C交于A，B两点，且直线OA，OB的斜率之和为
．
（1）求a和k的值；
（2）若
，设直线
与y轴交于D点，延长MD与抛物线C交于点N，抛物线C在点N处的切线为n，记直线n，与x轴围成的三角形面积为S．求S的最小值．
【答案】（1）
，
；（2）
.
【解析】
（1）将点
代入抛物线
，得，设
，
，
，将直线
的方程与抛物线方程联立，可得出
的值.
（2）由（1）得直线的方程
，可得
，所以
，则直线DM的方程为：
，联立
，可得到
，利用导数求出切线n的方程，解出点
的坐标,得到三角形的面积表达式，利用导数求出最大值.
解：（1）将点代入抛物线，得，
由
，得
，
设，，
则
，
，
故
由已知直线OA．OB的斜率之和为
，故；
（2）在直线的方程中，
令
得，，
直线DM的方程为：，
即
由，得
，
解得：
或
，所以，
由
，得
，
，
切线n的斜率
，
切线n的方程为：
，即
，
由
，得直线l、n交点Q，纵坐标
设直线，与x轴的交点
，
，
在直线，方程中令
.
得到点
，
，
所以
，
，
．
当
，函数单调递减；当
时，函数单调递增；
∴当
时，S最小值为．
【题目】随着网络的发展，网上购物越来越受到人们的喜爱，各大购物网站为增加收入，促销策略越来越多样化，促销费用也不断增加，下表是某购物网站
年
月促销费用
（万元）和产品销量
（万件）的具体数据.
月份 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
促销费用 | 2 | 3 | 6 | 10 | 13 | 21 | 15 | 18 |
产品销量 | 1 | 1 | 2 | 3 | 3.5 | 5 | 4 | 4.5 |
(1)根据数据可知与具有线性相关关系，请建立关于的回归方程
（系数精确到
）；
(2)已知
月份该购物网站为庆祝成立
周年，特定制奖励制度：用
（单位：件）表示日销量，若
，则每位员工每日奖励
元；若
，每位员工每日奖励
元；若
，则每位员工每日奖励
元.现已知该网站月份日销量服从正态分布
，请你计算某位员工当月奖励金额总数大约为多少元.（当月奖励金额总数精确到百分位）
参考数据：
，
，其中
分别为第
个月的促销费用和产品销量，
.
参考公式：①对于一组数据
，其回归方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为
，
.
②若随机变量服从正态分布
，则
，
.
【题目】为迎接2022年北京冬季奥运会，普及冬奥知识，某校开展了“冰雪答题王”冬奥知识竞赛活动．现从参加冬奥知识竞赛活动的学生中随机抽取了100名学生，将他们的比赛成绩（满分为100分）分为6组：
，
，
，
，
，
，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求
的值；
（2）估计这100名学生的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（3）在抽取的100名学生中，规定：比赛成绩不低于80分为“优秀”，比赛成绩低于80分为“非优秀”．请将下面的2×2列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”？
优秀 | 非优秀 | 合计 | |
男生 | 40 | ||
女生 | 50 | ||
合计 | 100 |
参考公式及数据：
| 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
