题目内容
【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,点在抛物线
上,直线
与抛物线C交于A,B两点,且直线OA,OB的斜率之和为
.
(1)求a和k的值;
(2)若,设直线
与y轴交于D点,延长MD与抛物线C交于点N,抛物线C在点N处的切线为n,记直线n,
与x轴围成的三角形面积为S.求S的最小值.
【答案】(1),
;(2)
.
【解析】
(1)将点代入抛物线
,得
,设
,
,
,将直线
的方程与抛物线方程联立,可得出
的值.
(2)由(1)得直线的方程
,可得
,所以
,则直线DM的方程为:
,联立
,可得到
,利用导数求出切线n的方程,解出点
的坐标,得到三角形的面积表达式,利用导数求出最大值.
解:(1)将点代入抛物线
,得
,
由,得
,
设,
,
则,
,
故
由已知直线OA.OB的斜率之和为,故
;
(2)在直线的方程
中,
令得
,
,
直线DM的方程为:,
即
由,得
,
解得:或
,所以
,
由,得
,
,
切线n的斜率,
切线n的方程为:,即
,
由,得直线l、n交点Q,纵坐标
设直线,
与x轴的交点
,
,
在直线,
方程中令
.
得到点,
,
所以,
,
.
当,函数单调递减;当
时,函数单调递增;
∴当时,S最小值为
.

【题目】随着网络的发展,网上购物越来越受到人们的喜爱,各大购物网站为增加收入,促销策略越来越多样化,促销费用也不断增加,下表是某购物网站年
月促销费用
(万元)和产品销量
(万件)的具体数据.
月份 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
促销费用 | 2 | 3 | 6 | 10 | 13 | 21 | 15 | 18 |
产品销量 | 1 | 1 | 2 | 3 | 3.5 | 5 | 4 | 4.5 |
(1)根据数据可知与
具有线性相关关系,请建立
关于
的回归方程
(系数精确到
);
(2)已知月份该购物网站为庆祝成立
周年,特定制奖励制度:用
(单位:件)表示日销量,若
,则每位员工每日奖励
元;若
,每位员工每日奖励
元;若
,则每位员工每日奖励
元.现已知该网站
月份日销量
服从正态分布
,请你计算某位员工当月奖励金额总数大约为多少元.(当月奖励金额总数精确到百分位)
参考数据:,
,其中
分别为第
个月的促销费用和产品销量,
.
参考公式:①对于一组数据,其回归方程
的斜率和截距的最小二乘估计分别为
,
.
②若随机变量服从正态分布
,则
,
.
【题目】为迎接2022年北京冬季奥运会,普及冬奥知识,某校开展了“冰雪答题王”冬奥知识竞赛活动.现从参加冬奥知识竞赛活动的学生中随机抽取了100名学生,将他们的比赛成绩(满分为100分)分为6组:,
,
,
,
,
,得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求的值;
(2)估计这100名学生的平均成绩(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表);
(3)在抽取的100名学生中,规定:比赛成绩不低于80分为“优秀”,比赛成绩低于80分为“非优秀”.请将下面的2×2列联表补充完整,并判断是否有99.9%的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”?
优秀 | 非优秀 | 合计 | |
男生 | 40 | ||
女生 | 50 | ||
合计 | 100 |
参考公式及数据:
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |