题目内容
【题目】求所有的由实数构成的有限集合,使得
,
,且对
中的任意四个不同的元素
、
、
、
都有
.
【答案】(
、
,且
,
)
【解析】
(1).
设,则由
,
,得
,
或
.
由对称性,不妨设.
因为,所以,
.
故(
、
是非零实数,且
,
).显然,集合
满足题设条件.
(2).
则集合除0外还含有至少四个元素.
(ⅰ)若中至少有四个正数,设
中最大元素为
,且
,则
,且
,这不可能.
(ⅱ)若中至少有四个负数,设
中的最小数是
,且
,则
,且
,这不可能.
(ⅲ)若中有不少于两个正数、两个负数,设
中最大元素为
,且设
,
,
,
,则
,且
,这不可能.
(ⅳ)若中只有三个正数一个负数,设这四个数满足
,则同(1)知
、
、
中有且只有一个为1.不妨设
.则
,且
,这不可能.
(ⅴ)若中只有三个负数一个正数,同(ⅳ)可得矛盾.
综上,(
、
,且
,
).
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