题目内容
【题目】求所有的由实数构成的有限集合
，使得
，
，且对中的任意四个不同的元素
、
、
、
都有
.
【答案】
（
、
，且
，
）
【解析】
（1）
.
设
，则由
，
，得
，
或
.
由对称性，不妨设.
因为
，所以，
.
故（、是非零实数，且，）.显然，集合
满足题设条件.
（2）
.
则集合除0外还含有至少四个元素.
（ⅰ）若中至少有四个正数，设中最大元素为
，且
，则
，且
，这不可能.
（ⅱ）若中至少有四个负数，设中的最小数是，且
，则
，且
，这不可能.
（ⅲ）若中有不少于两个正数、两个负数，设中最大元素为，且设
，
，
，
，则，且，这不可能.
（ⅳ）若中只有三个正数一个负数，设这四个数满足
，则同（1）知
、
、
中有且只有一个为1.不妨设
.则
，且
，这不可能.
（ⅴ）若中只有三个负数一个正数，同（ⅳ）可得矛盾.
综上，（、，且，）.
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