题目内容
5.如图,在矩形ABCD中,点E为边AD上的点,点F为边CD的中点,AB=AE=$\frac{2}{3}$AD=4,现将△ABE沿BE边折至△PBE位置,且平面PBE⊥平面BCDE.(1)求证:平面PBE⊥平面PEF;
(2)求四棱锥P-BCEF的体积.
分析 (1)在Rt△DEF中,由已知可得∠DEF=45°,在Rt△ABE中,得到∠AEB=45°,则可得到EF⊥BE,结合平面PBE⊥平面BCDE,可得EF⊥平面PBE,从而得到平面PBE⊥平面PEF;
(2)过P做PO⊥BE,由面面垂直的性质及线面垂直的判定得到PO⊥平面BCDE,即PO为四棱锥P-BCFE的高.把S四边形BCFE转化为S矩形ABCD-S△ABE-S△DEF,求值后代入棱锥的体积公式得答案.
解答 (1)证明:如图,
在Rt△DEF中,∵ED=DF,∴∠DEF=45°.
在Rt△ABE中,∵AE=AB,∴∠AEB=45°,
∴∠BEF=90°,则EF⊥BE.
∵平面PBE⊥平面BCDE,且平面PBE∩平面BCDE=BE,
∴EF⊥平面PBE,
∵EF?平面PEF,∴平面PBE⊥平面PEF;
(2)解:过P做PO⊥BE,
∵PO?平面PBE,平面PBE⊥平面BCDE且平面PBE∩平面BCDE=BE,
∴PO⊥平面BCDE,
四棱锥P-BCFE的高h=PO=$2\sqrt{2}$.
S四边形BCFE=S矩形ABCD-S△ABE$-{S}_{△DEF}=6×4-\frac{1}{2}×4×4-\frac{1}{2}×2×2=14$,
则${V}_{P-BCFE}=\frac{1}{3}{S}_{四边形BCFE}•h$=$\frac{1}{3}×14×2\sqrt{2}=\frac{28\sqrt{2}}{3}$.
点评 本题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识,考查数形结合、化归与转化的数学思想方法,以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力,是中档题.
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