题目内容

4.已知点A,B的坐标分别为(-2,0),(2,0).直线AT,BT交于点T,且它们的斜率之积为常数-λ(λ>0,λ≠1),点T的轨迹以及A,B两点构成曲线C.
(1)求曲线C的方程,并求其焦点坐标;
(2)若0<λ<1,且曲线C上的点到其焦点的最小距离为1.设直线l:x=my+1交曲线C于M,N,直线AM,BN交于点P.
(ⅰ)当m=0时,求点P的坐标;(ⅱ)求证:当m变化时,P总在直线x=4上.

分析 (1)设T(x,y),由直线的斜率公式,化简整理讨论即可得到曲线方程;
(2)由于0<λ<1,曲线C是焦点在x轴上的椭圆,求得焦点和a-c为最小值,解得λ,进而得到椭圆方程,
(ⅰ)当m=0时,由x=1代入椭圆方程,即可得到P的坐标;(ⅱ)设M(x1,y1),N(x2,y2),联立$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$及x=my+1,运用韦达定理和恒成立思想,即可得到定直线x=4.

解答 解:(1)设T(x,y),则$\frac{y}{x+2}•\frac{y}{x-2}=-λ$,
化简得$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{4λ}=1(x≠±2)$,又A,B的坐标(-2,0),(2,0)也符合上式,
故曲线C:$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{4λ}=1(λ>0,λ≠1)$;
当0<λ<1时,曲线C是焦点在x轴上的椭圆,焦点为$(-2\sqrt{1-λ},0),(2\sqrt{1-λ},0)$,
当λ>1时,曲线C是焦点在y轴上的椭圆,焦点为$(0,-2\sqrt{λ-1}),(0,2\sqrt{λ-1})$;
(2)由于0<λ<1,曲线C是焦点在x轴上的椭圆,其焦点为$(-2\sqrt{1-λ},0),(2\sqrt{1-λ},0)$,
椭圆的长轴端点到同侧焦点的距离,是椭圆上的点到焦点的最小距离,
故$2-2\sqrt{1-λ}=1$,∴$λ=\frac{3}{4}$,曲线C的方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$;
(ⅰ)联立$x=1,\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$解得$M(1,\frac{3}{2}),N(1,-\frac{3}{2})$或$N(1,\frac{3}{2}),M(1,-\frac{3}{2})$,
当$M(1,\frac{3}{2}),N(1,-\frac{3}{2})$时,$AM:y=\frac{1}{2}(x+2),BN:y=\frac{3}{2}(x-2)$,解得P(4,3),
当$N(1,\frac{3}{2}),M(1,-\frac{3}{2})$时,由对称性知,P(4,-3),
所以点P坐标为(4,3)或(4,-3);
(ⅱ)以下证明当m变化时,点P总在直线x=4上.
设M(x1,y1),N(x2,y2),联立$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$及x=my+1,
消去x得:(3m2+4)y2+6my-9=0,${y_1}+{y_2}=-\frac{6m}{{3{m^2}+4}},{y_1}{y_2}=-\frac{9}{{3{m^2}+4}}$,
直线$AM:y=\frac{y_1}{{{x_1}+2}}(x+2),BN:y=\frac{y_2}{{{x_2}-2}}(x-2)$,
消去y得$x=\frac{{2{y_1}({x_2}-2)+2{y_2}({x_1}+2)}}{{{y_2}({x_1}+2)-{y_1}({x_2}-2)}}=\frac{{4m{y_1}{y_2}-2{y_1}+6{y_2}}}{{{y_1}+3{y_2}}}$,
以下只需证明$\frac{{4m{y_1}{y_2}-2{y_1}+6{y_2}}}{{{y_1}+3{y_2}}}=4?4m{y_1}{y_2}-6({y_1}+{y_2})=0$(※) 对于m∈R恒成立.
而$4m{y_1}{y_2}-6({y_1}+{y_2})=4m•(-\frac{9}{{3{m^2}+4}})-6•(-\frac{6m}{{3{m^2}+4}})=\frac{{-36{m^2}+36{m^2}}}{{3{m^2}+4}}=0$
所以(※)式恒成立,即点P横坐标总是4,点P总在直线x=4上,
故存在直线l':x=4,使P总在直线l'上.

点评 本题考查曲线方程的求法,主要考查椭圆的性质和方程的运用.联立直线方程运用韦达定理以及恒成立思想的运用,属于中档题.

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