Question

15．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB．
（1）求B；
（2）若b=4，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）依据正弦定理化简已知可得sinBcosC+cosBsinC=sinBcosC+sinCsinB，可得tanB=1，又0＜B＜π，即可求B的值．
（2）由余弦定理及基本不等式可得：ac≤16+8$\sqrt{2}$，根据三角形面积公式即可得解．

解答 解：（1）依据正弦定理得：sinA=sinBcosC+sinCsinB，…（1分）
∵sinA=sin（B+C），
∴sinBcosC+cosBsinC=sinBcosC+sinCsinB，
由sinC≠0，化简可得：tanB=1…（3分）
又0＜B＜π
∴B=$\frac{π}{4}$．…（5分）
（2）∵b=4，
∴由余弦定理可得：16=a²+c²-2accosB=${a}^{2}+{c}^{2}-\sqrt{2}ac$≥2ac-$\sqrt{2}ac$，解得：ac≤16+8$\sqrt{2}$，
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}acsinB$$≤\frac{1}{2}×$（16+8$\sqrt{2}$）×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=4$\sqrt{2}+4$…（10分）

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，基本不等式的应用，考查了三角形内角和定理及两角和的正弦函数公式的应用，熟练掌握和灵活应用相关公式定理是关键，属于基本知识的考查．