题目内容
长方体ABCD-A1B1C1D1的侧棱AA1=a，底面ABCD的边长AB=2a，BC=a，E为C1D1的中点；
（1）求证：DE⊥平面BCE；
（2）求二面角E-BD-C的正切值．
（1）求证：DE⊥平面BCE；
（2）求二面角E-BD-C的正切值．
（1）∵AA1=a，AB=2a，BC=a，E为C1D1的中点；
∴DE=CE=
a，⇒DE⊥CE，
又∵DB=
a，EB=
a，
∴DE⊥EB，
又因为CE∩EB=E
所以DE⊥平面BCE
（2）取DC的中点F，则EF⊥平面BCD，作FH⊥BD于H，连EH，
则∠EHF就是二面角E-BD-C的平面角，
由题意得EF=a，
在Rt△DFH中，HF=
a
所以tan∠EHF=
．
∴DE=CE=
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又∵DB=
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∴DE⊥EB，
又因为CE∩EB=E
所以DE⊥平面BCE
（2）取DC的中点F，则EF⊥平面BCD，作FH⊥BD于H，连EH，
则∠EHF就是二面角E-BD-C的平面角，
由题意得EF=a，
在Rt△DFH中，HF=
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所以tan∠EHF=
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