题目内容
【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
已知直线的参数方程为
(
为参数,
),以坐标原点为极点,
轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆
的极坐标方程为
.
(Ⅰ)讨论直线与圆
的公共点个数;
(Ⅱ)过极点作直线的垂线,垂足为
,求点
的轨迹与圆
相交所得弦长.
【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)点的轨迹与圆
相交所得弦长是
.
【解析】试题分析: (Ⅰ)根据直线参数方程的几何意义可知直线式过定点
,将极坐标方程化为直角坐标,可知圆心为
,半径为
,动态讨论倾斜角可得结果;(Ⅱ)直线与圆的极坐标方程联立,求出极径,即可得结果.
试题解析:(Ⅰ)直线式过定点
,倾斜角在
内的一条直线,
圆的方程为
,∴当
时,直线
与圆
有1个公共点;
当时,直线
与圆
有2个公共点
(Ⅱ)依题意,点在以
为直径的圆上,可得轨迹极坐标方程为
.
联立得
.
∴点的轨迹与圆
相交所得弦长是
.
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