题目内容
【题目】已知函数.
(1)当时,求函数
的单调递减区间;
(2)当时,设函数
.若函数
在区间
上有两个零点,求实数
的取值范围.
【答案】(1)当时,
的单调递减区间为
,当
时,
的单调递减区间为
,当
时,
的单调递减区间为
;(2)
.
【解析】
试题分析:(1)讨论当时,当
时,当
时三种情况,
得增区间,
得减区间;(2)
在
上有零点,即关于
的方程
在
上有两个不相等的实数根,可证当
时
单调递减,当
时
单调递增,故
.
试题解析:(1)的定义域为
,
.
①当时,
,由
,
得或
.
∴当时,
单调递减.
∴的单调递减区间为
.
②当时,恒有
,
∴的单调递减区间为
.
③当时,
,由
,得
或
.
∴当时,
单调递减.
∴的单调递减区间为
.
综上,当时,
的单调递减区间为
;
当时,
的单调递减区间为
;
当时,
的单调递减区间为
.
(2)在
上有零点,
即关于的方程
在
上有两个不相等的实数根.
令函数.
则,令函数
.
则在
上有
.
故在
上单调递增.
∵.
∴当时,有
即
.
∴单调递减;
当时,有
,即
,∴
单调递增.
∵,
,
∴的取值范围为
.
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