Question

【题目】已知直线与抛物线： 相交于， 两点， 是线段的中点，过作轴的垂线交于点.

（Ⅰ）证明：抛物线在点处的切线与平行；

（Ⅱ）是否存在实数使？若存在，求的值；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）存在， .

【解析】试题分析：（Ⅰ）直线方程与抛物线方程联立，设， 得到根与系数的关系，并利用中点坐标等求点的坐标，并且设切线方程为 ，与抛物线方程联立， ，解得 ，得证；（Ⅱ） 中，斜边的中线等于斜边的一半，所以 ,利用两点间距离和弦长公式，建立等量关系求 .

试题解析：（Ⅰ）由 消去并整理，得，

设，则，

， ，

由题设条件可知， ， ， ，

设抛物线在点处的切线的方程为 ，

将代入上式，得，

直线与抛物线相切，

，

，即.

（Ⅱ）假设存在实数，使，则,

是的中点， ,

由（Ⅰ）得

轴，

，

，解得，

故存在，使.