题目内容
15．
已知椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）离心率为$\frac{1}{2}$，F1、F2分别为左、右焦点，过F1垂直与长轴的弦长为3$\sqrt{2}$．（1）求椭圆的标准方程；
（2）如图，以椭圆长轴AB为直径的圆：x2+y2=a2，P为圆O上与A，B不重合的一点，设PA与椭圆交于D，设直线DF2，PB的斜率分别为k1，k2，若k1=λk2，求实数λ的取值范围．
分析 （1）把x=-c代入椭圆的标准方程可得：$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，解得y=±$\frac{{b}^{2}}{a}$，可得$\frac{2{b}^{2}}{a}$=3$\sqrt{2}$，又$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，a2=b2+c2．联立解出即可得出．
（2）A$（-2\sqrt{2}，0）$，B$（2\sqrt{2}，0）$，F2$（\sqrt{2}，0）$．直线PB的方程为：$y={k}_{2}（x-2\sqrt{2}）$，则直线PA的斜率为-$\frac{1}{{k}_{2}}$，其方程为：y=-$\frac{1}{{k}_{2}}$（x+2$\sqrt{2}$），与椭圆方程联立化为$（3{k}_{2}^{2}+4）{x}^{2}$+16$\sqrt{2}$x+32-24${k}_{2}^{2}$=0，由于$-2\sqrt{2}+{x}_{D}$=$\frac{-16\sqrt{2}}{3{k}_{2}^{2}+4}$，解得xD，yD，当xD≠±2时，可得k1=$\frac{-4{k}_{2}}{{k}_{2}^{2}-4}$．化为λ=$\frac{4}{4-{k}_{2}^{2}}$，即可得出．
解答 
解：（1）把x=-c代入椭圆的标准方程可得：$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，解得y=±$\frac{{b}^{2}}{a}$，
∴$\frac{2{b}^{2}}{a}$=3$\sqrt{2}$，又$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，a2=b2+c2．
联立解出：c=$\sqrt{2}$，a=2$\sqrt{2}$，b=$\sqrt{6}$．
∴椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{6}=1$．
（2）A$（-2\sqrt{2}，0）$，B$（2\sqrt{2}，0）$，F2$（\sqrt{2}，0）$．
直线PB的方程为：$y={k}_{2}（x-2\sqrt{2}）$，
则直线PA的斜率为-$\frac{1}{{k}_{2}}$，其方程为：y=-$\frac{1}{{k}_{2}}$（x+2$\sqrt{2}$），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{{k}_{2}}（x+2\sqrt{2}）}\\{\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{6}=1}\end{array}\right.$，化为$（3{k}_{2}^{2}+4）{x}^{2}$+16$\sqrt{2}$x+32-24${k}_{2}^{2}$=0，
△＞0，
∴$-2\sqrt{2}+{x}_{D}$=$\frac{-16\sqrt{2}}{3{k}_{2}^{2}+4}$，
解得xD=$\frac{6\sqrt{2}{k}_{2}^{2}-8\sqrt{2}}{3{k}_{2}^{2}+4}$，yD=$\frac{-12\sqrt{2}{k}_{2}}{3{k}_{2}^{2}+4}$，
xD-$\sqrt{2}$=$\frac{6\sqrt{2}{k}_{2}^{2}-8\sqrt{2}}{3{k}_{2}^{2}+4}-\sqrt{2}$=$\frac{3\sqrt{2}{k}_{2}^{2}-12\sqrt{2}}{3{k}_{2}^{2}+4}$．
当xD≠±2时，
∴k1=$\frac{-12\sqrt{2}{k}_{2}}{3\sqrt{2}{k}_{2}^{2}-12\sqrt{2}}$=$\frac{-4{k}_{2}}{{k}_{2}^{2}-4}$．
∵k1=λk2，∴$\frac{-4{k}_{2}}{{k}_{2}^{2}-4}$=λ•k2．
化为λ=$\frac{4}{4-{k}_{2}^{2}}$，
∵k2∈R，k2≠±2，k2≠0，
∴λ∈（-∞，0）∪（1，+∞）．
点评 本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线点斜式、斜率计算公式、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
| A． | b∥α | B． | b?α | C． | 异面 | D． | 不确定 |