Question

3．已知函数f（x）=e^x（2x-1），g（x）=ax-a（a∈R）．
（1）若y=g（x）为曲线y=f（x）的一条切线，求a的值；
（2）已知a＜1，若存在唯一的整数x₀，使得f（x₀）＜g（x₀），求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出导数，设出切点（m，n），求得切线的斜率，由切线的方程，可得a=e^m（2m+1），又n=am-a=e^m（2m-1），解方程可得a的值；
（2）函数f（x）=e^x（2x-1），g（x）=kx-k，问题转化为存在唯一的整数x₀使得f（x₀）在直线y=kx-k的下方，求导数可得函数的极值，数形结合可得-k＞f（0）=-1且f（-1）=-3e^-1≥-k-k，解关于k的不等式组可得．

解答 解：（1）f′（x）=e^x（2x-1）+2e^x=e^x（2x+1），
设切点为（m，n），由题意可得a=e^m（2m+1），
又n=am-a=e^m（2m-1），
解方程可得，a=1或4${e}^{\frac{3}{2}}$；
（2）函数f（x）=e^x（2x-1），g（x）=ax-a
由题意知存在唯一的整数x₀使得f（x₀）在直线y=ax-a的下方，
∵f′（x）=e^x（2x-1）+2e^x=e^x（2x+1），
∴当x＜-$\frac{1}{2}$时，f′（x）＜0，
当x＞-$\frac{1}{2}$时，f′（x）＞0，
∴当x=-$\frac{1}{2}$时，f（x）取最小值-2${e}^{-\frac{1}{2}}$，
当x=0时，f（0）=-1，当x=1时，f（1）=e＞0，
直线y=ax-a恒过定点（1，0）且斜率为a，
故-a＞f（0）=-1且f（-1）=-3e^-1≥-a-a，
解得$\frac{3}{2e}$≤a＜1．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和极值、最值，涉及数形结合和转化的思想，属中档题．