Question

4．设f（x）=3^x+m3^-x，m、x是实数．
（1）若y=|f（x）|是偶函数，求m的值；
（2）若x≥1时，3^x[f（x）+1]≥0恒成立，求实数m的取值范围；
（3）当m=1时，若log₃[3^xf（x）]-2x＞a对一切实数x成立，求a的最大值．

Answer 1

分析 （1）若y=|f（x）|是偶函数，根据偶函数的定义建立方程即可求m的值；
（2）若x≥1时，3^x[f（x）+1]≥0恒成立，等价为f（x）+1≥0恒成立，解不等式即可求实数m的取值范围；
（3）当m=1时，求出函数f（x）的表达式，利用参数分离法进行求解即可．

解答 解：（1）若y=|f（x）|是偶函数，
则f（-x）=f（x），即|3^-x+m3^x|=|3^x+m3^-x|，
3^-x+m3^x=3^x+m3^-x，①或3^-x+m3^x=-3^x-m3^-x，②
由①得m=1，由②得m=-1．
综上m=1或m=-1；
（2）若x≥1时，3^x[f（x）+1]≥0恒成立，
则等价物f（x）+1≥0，
即3^x+m3^-x+1≥0，
即（3^x）²+3^x+m≥0恒成立，
则m≥-[（3^x）²+3^x]，
∵y=-[（3^x）²+3^x]=-（3^x+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{4}$，
∵x≥1，则3^x≥3，
∴y≤-（9+3）=-12，
∴m≥-12．
（3）当m=1时，f（x）=3^x+3^-x，
则log₃[3^xf（x）]-2x＞a对一切实数x成立，
等价为log₃[3^x（3^x+3^-x）]-2x＞a对一切实数x成立，
即log₃[（3^x）²+1]-2x＞a
则log₃$\frac{{3}^{2x}+1}{{3}^{2x}}$＞a，
∵log₃$\frac{{3}^{2x}+1}{{3}^{2x}}$＞log₃1=0，
∴a≤0，
即实数m的取值范围是（-∞，0]．

点评 本题主要考查函数奇偶性的应用，以及不等式恒成立问题，利用参数分离法是解决本题的关键．考查学生的运算能力．