题目内容
3.在锐角△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且$\frac{c}{b}$+$\frac{b}{c}$=$\frac{5cosA}{2}$,则$\frac{tanA}{tanB}$+$\frac{tanA}{tanC}$等于$\frac{1}{2}$.分析 由已知可得$\frac{{c}^{2}+{b}^{2}}{bc}$=$\frac{5cosA}{2}$①,由余弦定理可得cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$②,解得:b2+c2=5a2,代入①可得cosA=$\frac{2{a}^{2}}{bc}$③,由正弦定理及同角三角函数基本关系的运用化简所求即可得解.
解答 解:∵$\frac{c}{b}$+$\frac{b}{c}$=$\frac{{c}^{2}+{b}^{2}}{bc}$=$\frac{5cosA}{2}$①,由余弦定理可得cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$②,
∴$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2}$=$\frac{2({c}^{2}+{b}^{2})}{5}$,解得:b2+c2=5a2,代入①可得cosA=$\frac{2{a}^{2}}{bc}$③,
∵由正弦定理可得:a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,
∴在锐角△ABC中,$\frac{tanA}{tanB}$+$\frac{tanA}{tanC}$=$\frac{sinAcosB}{cosAsinB}+\frac{sinAcosC}{cosAsinC}$=$\frac{sinAcosBsinC+sinAsinBcosC}{cosAsinBsinC}$=$\frac{si{n}^{2}A}{cosAsinBsinC}$=$\frac{{a}^{2}}{bc•cosA}$=$\frac{{a}^{2}}{bc×\frac{2{a}^{2}}{bc}}$=$\frac{1}{2}$.
故答案为:$\frac{1}{2}$.
点评 本题主要考查了正弦定理,同角三角函数基本关系的运用,属于基本知识的考查.
A. | {0|0<x<2} | B. | {x|0<x<$\sqrt{6}$} | C. | {x|0<x<2.5} | D. | {x|0<x<3} |
A. | n2 | B. | n2+n | C. | 2n2+3n | D. | n2+$\frac{5}{2}n$ |