题目内容

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD中为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点．
（1）若PA=PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；
（2）点M在线段PC上，PM=tPC，试确定实数t的值，使得PA∥平面MQB．
（1）连BD，四边形ABCD菱形∵AD=AB，∠BAD=60°
∴△ABD是正三角形，Q为 AD中点
∴AD⊥BQ
∵PA=PD，Q为 AD中点AD⊥PQ
又BQ∩PQ=Q∴AD⊥平面PQB，AD?平面PAD
∴平面PQB⊥平面PAD
（2）当t=
1
3
时，使得PA∥平面MQB，
连AC交BQ于N，交BD于O，
则O为BD的中点，又∵BQ为△ABD边AD上中线，
∴N为正三角形ABD的中心，
令菱形ABCD的边长为a，则AN=
3
3
a，AC=
3
a．
∴PA∥平面MQB，PA?平面PAC，平面PAC∩平面MQB=MN
∴PA∥MN
PM
PC
=
AN
AC
=
3
a
3
3
a
=
1
3
即：PM=
1
3
PC，t=
1
3
．
练习册系列答案
相关题目
如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1，D是CC1的中点，F是A1B的中点，
（1）求证：DF∥平面ABC；
（2）求证：AF⊥平面BDF．
如图，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，∠PAD=90°，且PA=AD，E、F分别是线段PA、CD的中点．
（Ⅰ）求证：PA⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求EF和平面ABCD所成的角α；
（Ⅲ）求异面直线EF与BD所成的角β．
如图，棱柱ABC-A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，B1C⊥A1B
（Ⅰ）证明：平面AB1C⊥平面A1BC1；
（Ⅱ）设D是A1C1上的点，且A1B∥平面B1CD，求A1D：DC1的值．
底面是平行四边形的四棱锥P-ABCD，E、F、G分别为AB、PC、DC的中点，
（1）求证：EF∥面PAD；
（2）若PA⊥平面ABCD，求证：面EFG⊥面ABCD．
如图，三棱柱A1B1C1-ABC的三视图，主视图和侧视图是全等的矩形，俯视图是等腰直角三角形，点M是A1B1的中点．
（I）求证：B1C∥平面AC1M；
（II）求证：平面AC1M⊥平面AA1B1B．
如图所示，四棱锥P-ABCD中，ABCD是矩形，三角形PAD为等腰直角三角形，∠APD=90°，面APD⊥面ABCD，AB=1，AD=2，E，F分别为PC和BD的中点．
（1）求证：EF∥平面PAD；
（2）证明：平面PAD⊥平面PDC；
（3）求四棱锥P-ABCD的体积．
在如图所示的四棱锥P-ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，AB∥DC，∠DAB=90°，PA=AD=DC=1，AB=2，M为PB的中点．
（1）求证：平面PAC⊥平面PBC；
（2）求二面角A-PB-C的平面角的正切值．
若，则的最小值为         ．

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