题目内容
【题目】已知椭圆C的离心率为,长轴的左、右端点分别为
,
.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设直线与椭圆C交于P,Q两点,直线
,
交于S,试问:当m变化时,点S是否恒在一条定直线上?若是,请写出这条直线的方程,并证明你的结论;若不是,请说明理由.
【答案】(1)(2)点S恒在定直线l:
上,证明见解析
【解析】
(1)设椭圆C的方程为,可得
的值,再根据
,可得
的值,由此能求出椭圆C的方程;
(2)取,得
,
,进而得到直线
和直线
的方程,联立求出他们的交点
坐标.若
,
,由对称性可知
的坐标,若点
在同一条直线上,则直线只能为l:
,然后证明当
变化时,点S在直线
上.
解:(1)设椭圆C的方程为,
,
,
,
,
椭圆C的方程为
;
(2)取,得
,
,
直线的方程是
,直线
的方程是
,交点为
.
若,
,
由对称性可知,
若点S在同一条直线上,则直线只能为l:.
以下证明对于任意的m,直线与
的交点S均在直线l:
上,
事实上,由,
得,
记,
,
则,
,
记与l交于点
,
由,得
,
设与交于点
,
由,得
,
,
,即
与
重合,
这说明,当m变化时,点S恒在定直线l:上.
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