题目内容
【题目】已知椭圆C的离心率为
，长轴的左、右端点分别为
，
.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线
与椭圆C交于P，Q两点，直线
，
交于S，试问：当m变化时，点S是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线的方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由.
【答案】（1）
（2）点S恒在定直线l：
上,证明见解析
【解析】
（1）设椭圆C的方程为
，可得
的值，再根据
，可得
的值，由此能求出椭圆C的方程；
（2）取
，得
，
，进而得到直线
和直线
的方程，联立求出他们的交点
坐标.若
，
，由对称性可知
的坐标，若点
在同一条直线上，则直线只能为l：，然后证明当
变化时，点S在直线上.
解：（1）设椭圆C的方程为，
，，
，
，
椭圆C的方程为；
（2）取，得，，
直线的方程是
，直线的方程是
，交点为
.
若，，
由对称性可知
，
若点S在同一条直线上，则直线只能为l：.
以下证明对于任意的m，直线与的交点S均在直线l：上，
事实上，由
，
得
，
记
，
，
则
，
，
记与l交于点
，
由
，得
，
设与交于点
，
由
，得
，
，
，即
与
重合，
这说明，当m变化时，点S恒在定直线l：上.
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