题目内容

定义在R上的函数及二次函数满足:.
(1)求的解析式;
(2)对于,均有成立,求的取值范围;
(3)设,讨论方程的解的个数情况.
(1);(2)的取值范围为;(3)有5个解.

试题分析:(1)根据已知的函数方程,可以得到,联立已知条件的函数方程,即可解得,又由条件二次函数,可设,再根据,可求得;(2)问题等价于求使恒成立的的取值范围,即求当
使成立的的取值范围,通过判断的单调性可知,其在上单调递增,因此只需,由(1)求得的二次函数的解析式,可得只需,即的取值范围为;(3)根据条件及(1),(2)所求得的解析式,可画出的示意图,根据示意图,可以得到方程即等价于,再从示意图上可得:有2个解, 个解,因此个解.
试题解析:(1) ,①

由①②联立解得:.            2分,
是二次函数, 且,可设,
,解得.∴
             5分;
(2)设,
,
依题意知:当时,
,在上单调递减,
                     7分
上单调递增,,∴
解得:
∴实数的取值范围为.           10分;
由题意,可画出的示意图如图所示:

,则
,由示意图可知:有2个解, 个解.
个解.                      14分.  
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