Question

14．如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱与底面成60°角，侧棱长与底面边长均相等，侧面B₁C₁CB⊥面ABC．
（1）求证：AC₁⊥BC；
（2）求BA₁与AC₁所成的角；
（3）求CB₁与平面AC₁B₁所成角的正弦值；
（4）求二面角C-AC₁-B₁的余弦值；
（5）若AB=2，求A₁到平面AB₁C₁的距离．

Answer 1

分析 （1）建立坐标系，证明$\overrightarrow{A{C}_{1}}$•$\overrightarrow{BC}$=0，可得AC₁⊥BC；
（2）利用$\overrightarrow{A{C}_{1}}$•$\overrightarrow{B{A}_{1}}$=0求BA₁与AC₁所成的角；
（3）求出平面AC₁B₁的法向量，求CB₁与平面AC₁B₁所成角的正弦值；
（4）求出平面CAC₁的法向量，即可求二面角C-AC₁-B₁的余弦值；
（5）若AB=2，平面AC₁B₁的法向量为$\overrightarrow{n}$=（1，0，1），$\overrightarrow{A{A}_{1}}$=（0，1，$\sqrt{3}$），即可求A₁到平面AB₁C₁的距离．

解答 （1）证明：∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱与底面成60°角，侧棱长与底面边长均相等，侧面B₁C₁CB⊥面ABC，∴取BC的中点O，则OC₁⊥平面ABC，OA⊥BC．
建立如图所示的坐标系，设底面边长2，则A（$\sqrt{3}$，0，0），C₁（0，0，$\sqrt{3}$），B（0，1，0），C（0，-1，0），∴$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=（-$\sqrt{3}$，0，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{BC}$=（0，-2，0），
∴$\overrightarrow{A{C}_{1}}$•$\overrightarrow{BC}$=0，
∴AC₁⊥BC；
（2）解：A₁（$\sqrt{3}$，1，$\sqrt{3}$），∴$\overrightarrow{B{A}_{1}}$=（$\sqrt{3}$，0，$\sqrt{3}$），
∴$\overrightarrow{A{C}_{1}}$•$\overrightarrow{B{A}_{1}}$=0，
∴BA₁与AC₁所成的角为90°；
（3）解：∵B₁（0，2，$\sqrt{3}$），∴$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（-$\sqrt{3}$，2，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{C{B}_{1}}$=（0，3，$\sqrt{3}$）
设平面AC₁B₁的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{-\sqrt{3}x+2y+\sqrt{3}z=0}\\{-\sqrt{3}x+\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，∴$\overrightarrow{n}$=（1，0，1）
∴CB₁与平面AC₁B₁所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{9+3}•\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$；
（4）同理可得平面CAC₁的法向量为（1，-$\sqrt{3}$，1）
∴二面角C-AC₁-B₁的余弦值为$\frac{2}{\sqrt{2}•\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$；
（5）解：AB=2，平面AC₁B₁的法向量为$\overrightarrow{n}$=（1，0，1），$\overrightarrow{A{A}_{1}}$=（0，1，$\sqrt{3}$），
∴A₁到平面AB₁C₁的距离$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

点评 本题考查知识点，考查空间向量的运用，正确建立坐标系，求平面的法向量是关键．