题目内容

4.正方形ABCD的边长为2,E为CD中点,F为线段BE上的动点,则$\overrightarrow{FB}•\overrightarrow{FC}$的取值范围是$[{-\frac{4}{5},1}]$.

分析 以点A为原点建立直角坐标系,求出EB直线方程,表示出F点的坐标,然后用坐标表示数量积,即可求出范围.

解答 解:以点A为原点建立直角坐标系,则A(0,0),B(2,0)C(2,2)D(0,2),
E为CD中点,则E(1,2),根据点斜式得EB直线方程为:y=-2x+4,F为线段BE上的动点,则可设F(x,-2x+4)(其中1<x<2),
则$\overrightarrow{FB}•\overrightarrow{FC}$=(2-x,2x-4)•(2-x,2x-2)=(2-x)2+(2x-4)(2x-2)=5x2-16x+12=5(x-$\frac{8}{5}$)2-$\frac{4}{5}$,
当x=$\frac{8}{5}$时,$\overrightarrow{FB}•\overrightarrow{FC}$取最小值,为-$\frac{4}{5}$,当x=1时,$\overrightarrow{FB}•\overrightarrow{FC}$取最大值,$\overrightarrow{FB}•\overrightarrow{FC}$=1,
故答案为:$[{-\frac{4}{5},1}]$.

点评 本题考查了平面向量的数量积及其应用,属于中档题.

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