题目内容

16.求函数f(x)=3${\;}^{\sqrt{{x}^{2}-5x+4}}$的定义域、值域及单调区间.

分析 令t=x2-5x+4≥0,求得函数的定义域;根据f(x)=${3}^{\sqrt{t}}$,t≥0求得函数的值域;求得函数t的单调区间,可得f(x)=${3}^{\sqrt{t}}$的单调区间.

解答 解:令t=x2-5x+4≥0,求得x≤1或 x≥4,故函数的定义域为{x|x≤1或 x≥4},且f(x)=${3}^{\sqrt{t}}$.
根据t≥0,可得f(x)=3t≥1,故函数的值域为[1,+∞).
在(-∞,1]上,函数t为减函数,函数f(x)为减函数;在[4,+∞)上,函数t为增函数,函数f(x)为增函数,
故函数f(x)的减区间为(-∞,1],增区间为[4,+∞).

点评 本题主要考查复合函数的单调性,指数函数、二次函数的性质,体现了转化的数学思想,属于中档题.

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