题目内容
12.在△ABC中,已知∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,且∠C=2∠A.(Ⅰ)若∠B为锐角,求$\frac{c}{a}$的取值范围;
(Ⅱ)若4cosA=3,a+c=20,求b.
分析 (Ⅰ)由题意可得$\frac{π}{6}$<A<$\frac{π}{3}$,由正弦定理和二倍角公式可得$\frac{c}{a}$=2cosA,再由余弦函数的单调性,计算即可得到所求范围;
(Ⅱ)由条件可得$\frac{c}{a}$=2cosA=$\frac{3}{2}$,结合a+c=20,可得a=8,c=12,由余弦定理,可得b=8或10,检验即可得到b=10.
解答 解:(Ⅰ)0<B=π-3A<$\frac{π}{2}$,即有$\frac{π}{6}$<A<$\frac{π}{3}$,
由正弦定理得$\frac{c}{a}$=$\frac{sinC}{sinA}$=$\frac{sin2A}{sinA}$=2cosA,
由$\frac{1}{2}<$cosA<$\frac{\sqrt{3}}{2}$,即有1<$\frac{c}{a}$<$\sqrt{3}$;
(Ⅱ)由$\frac{c}{a}$=2cosA=$\frac{3}{2}$,即有a+c=a+$\frac{3}{2}$a=20,
解得a=8,c=12,
由余弦定理得a2=b2+c2-2bc•$\frac{3}{4}$,
得b2-18b+80=0,解得b=8或b=10,
又b=8时,a=b,A=B,
由A+B+C=π得4A=π,
即有cosA=cos$\frac{π}{4}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$≠$\frac{3}{4}$舍去,
故b=10.
点评 本题考查正弦定理和余弦定理的运用,同时考查二倍角公式和余弦函数的单调性,考查运算能力,属于中档题.
练习册系列答案
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