Question

2．已知函数f（x）=x³+ax²+bx+a²在x=1时都取得极值10
（1）求a，b的值．
（2）若对x∈[-1，2]，不等式f（x）+3c≥c²恒成立，求c的取值范围．

Answer 1

分析 （1）首先对f（x）求导，然后由题设在x=1时有极值10可得$\left\{\begin{array}{l}f'（1）=0\\ \\ f（1）=0\end{array}\right.$，解得即可．
（2）求出函数的最小值为f（1），要使不等式恒成立，既要证f（1）+3c≥c²，即可求出c的取值范围．

解答 解（1）f'（x）=3x²+2ax+b，
∵函数f（x）=x³+ax²+bx+a²在x=1时都取得极值10，
∴$\left\{\begin{array}{l}f'（1）=0\\ \\ f（1）=0\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}3+2a+b=0\\ \\ 1+a+b+{a^2}=10\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}a=4\\ \\ b=-11\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}a=-3\\ \\ b=3\end{array}\right.$
但由于a=-3，b=3，f'（x）=3x²-6x+3≥0
故f（x）在R上递增．
∴$\left\{\begin{array}{l}a=-3\\ \\ b=3\end{array}\right.$舍去．
经检验a=4，b=-11符合题意．
（2）c²-3x≤f（x）在[-1，2]上恒成立．f'（x）=3x²+8x-11=0得x=1或$x=-\frac{11}{3}$（舍去）
所以f（x）与f'（x）情况如下：

x	（-1，1）	1	（1，2）
f'（x）	-	0	+
f（x）	减	极小值	增

∴f（x）极小值=f（1）=10，
∴c²-3c≤10，
解得-2≤c≤5．

点评 考查学生利用导数求函数极值的能力，利用导数研究函数单调性的能力，以及掌握不等式的证明方法，属于中档题．