Question

9．已知函数f（x）=$\frac{mx-1}{\sqrt{m{x}^{2}+4mx+3}}$的定义域为R，则实数m的取值范围是[0，$\frac{3}{4}$）．

Answer 1

分析 由题意可得，对任意实数x，mx²+4mx+3＞0恒成立，然后分m=0和m≠0分类求解m的范围，取并集得答案．

解答 解：函数f（x）=$\frac{mx-1}{\sqrt{m{x}^{2}+4mx+3}}$的定义域为R，
是指对任意实数x，mx²+4mx+3＞0恒成立，
当m=0时，不等式mx²+4mx+3＞0恒成立；
当m≠0时，要使mx²+4mx+3＞0恒成立，则$\left\{\begin{array}{l}{m＞0}\\{（4m）^{2}-12m＜0}\end{array}\right.$，解得：0$＜m＜\frac{3}{4}$．
综上，实数m的取值范围是[0，$\frac{3}{4}$）．
故答案为：[0，$\frac{3}{4}$）．

点评 本题考查函数的定义域及其求法，考查数学转化思想方法和分类讨论的数学思想方法，是中档题．