题目内容
【题目】已知函数,其中
为自然对数的底数.
(Ⅰ)当,
时,证明:
;
(Ⅱ)当时,讨论函数
的极值点的个数.
【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)见解析
【解析】试题分析:(Ⅰ)依题意,只要证
,记
,求得
,分
和
讨论即可得到函数的单调性,进而得到结论;
(Ⅱ)由
,记
,
,(1)当
时,得到
存在唯一
,且当
时,
;当
,
,再分
和
和
三种情形讨论,得到地产是
有一个极大值点
和一个极小值点
,(2)当
时,显然
在
单调递减;在
上单调递增,综上所述即可得到结论.
试题解析:
(Ⅰ)依题意,因为
,只要证
,
记,
,则
.
当时,
,
单调递减;
当时,
,
单调递增.
所以,即
,原不等式成立.
(Ⅱ)
,
记,
.
(1)当时,
,
在
上单调递增,
,
,
所以存在唯一,
,且当
时,
;当
,
,
①若,即
时,对任意
,
,此时
在
上单调递增,无极值点.
②若,即
时,此时当
或
时,
.即
在
,
上单调递增;当
时,
,即
在
上单调递减.
此时有一个极大值点
和一个极小值点-1.
③若,即
时,此时当
或
时,
.即
在
,
上单调递增;当
时,
,即
在
上单调递减.
此时有一个极大值点-1和一个极小值点
.
(2)当时,
,所以
,显然
在
单调递减;在
上单调递增.
综上可得:①当或
时,
有两个极值点;
②当时,
无极值点;
③当时,
有一个极值点.
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