Question

15．已知函数f（x）满足f（x+2）=$\frac{1}{f（x）}$，且当0≤x＜4时，f（x）=2^x+${∫}_{0}^{\frac{π}{6}}$costdt，则f（2013）=$\frac{5}{2}$．

Answer 1

分析 先根据函数的周期性的定义求出f（x）是4为最小正周期的函数，再根据定积分求出f（x）的表达式，继而求出f（2013）的值．

解答 解：∵f（x+2）=$\frac{1}{f（x）}$，
∴f（x+4）=$\frac{1}{f（x+2）}$=f（x）
即f（x）是4为最小正周期的函数，
∵${∫}_{0}^{\frac{π}{6}}$costdt=sint|${\;}_{0}^{\frac{π}{6}}$=$\frac{1}{2}$，
∴当0≤x＜4时，f（x）=2^x+$\frac{1}{2}$，
∴f（2013）=f（4×503+1）=f（1）=2+$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{2}$，
故答案为：$\frac{5}{2}$．

点评 本题考查了函数的周期性和定积分的问题，属于基础题．