题目内容

10.在离心率为e的椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1(a>b>0)中,右焦点F(c,0),A($\frac{{a}^{2}}{c}$,0),过F的直线交椭圆于M、N两点,过A与直线MN平行的直线交椭圆于B、C两点,求证:|$\overrightarrow{FM}$|•|$\overrightarrow{FN}$|=e2|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AC}$|.

分析 设F(c,0)的直线为$\left\{\begin{array}{l}{x=c+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$(t为参数),代入椭圆方程,运用韦达定理,注意参数的几何意义,可将上面中的c换成$\frac{{a}^{2}}{c}$,化简整理结合离心率公式,即可得证.

解答 证明:设F(c,0)的直线为$\left\{\begin{array}{l}{x=c+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$(t为参数),
代入椭圆方程可得,(b2cos2α+a2sin2α)t2+2b2ctcosα+b2c2-b2a2=0,
则t1t2=$\frac{{b}^{2}{c}^{2}-{b}^{2}{a}^{2}}{{b}^{2}co{s}^{2}α+{a}^{2}si{n}^{2}α}$=-$\frac{{b}^{4}}{{b}^{2}co{s}^{2}α+{a}^{2}si{n}^{2}α}$,
即有|$\overrightarrow{FM}$|•|$\overrightarrow{FN}$|=$\frac{{b}^{4}}{{b}^{2}co{s}^{2}α+{a}^{2}si{n}^{2}α}$,
由于过A与直线MN平行的直线交椭圆于B、C两点,
可将上面中的c换成$\frac{{a}^{2}}{c}$,即有
|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AC}$|=$\frac{{b}^{2}•\frac{{a}^{4}}{{c}^{2}}-{b}^{2}{a}^{2}}{{b}^{2}co{s}^{2}α+{a}^{2}si{n}^{2}α}$=$\frac{{a}^{2}}{{c}^{2}}$•(-$\frac{{b}^{2}{c}^{2}-{b}^{2}{a}^{2}}{{b}^{2}co{s}^{2}α+{a}^{2}si{n}^{2}α}$)=$\frac{1}{{e}^{2}}$•$\frac{{b}^{4}}{{b}^{2}co{s}^{2}α+{a}^{2}si{n}^{2}α}$,
故有|$\overrightarrow{FM}$|•|$\overrightarrow{FN}$|=e2|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AC}$|.

点评 本题考查直线和椭圆的位置关系,考查联立直线的参数方程和椭圆方程,运用韦达定理和离心率公式,考查化简整理的运算能力,属于中档题.

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