Question

8．已知空间直角坐标系中三点A（0，1，0），M（$\sqrt{2}$，1，0），N（0，3，$\sqrt{2}$），O为坐标原点，则直线OA与MN所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 根据向量的坐标运算求出向量$\overrightarrow{OA}$、$\overrightarrow{MN}$所成角的余弦值，即可得出直线OA与MN所成角的余弦值．

解答 解：$\overrightarrow{OA}$=（0，1，0），$\overrightarrow{MN}$=（-$\sqrt{2}$，2，$\sqrt{2}$），
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{MN}$=0×（-$\sqrt{2}$）+1×2+0×$\sqrt{2}$=2，
|$\overrightarrow{OA}$|=1，|$\overrightarrow{MN}$|=$\sqrt{{（-\sqrt{2}）}^{2}{+2}^{2}{+（\sqrt{2}）}^{2}}$=2$\sqrt{2}$；
∴cos＜$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{MN}$＞=$\frac{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{MN}}{|\overrightarrow{OA}|×|\overrightarrow{MN}|}$=$\frac{2}{1×2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
即直线OA与MN所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了空间向量的坐标运算与夹角问题，是基础题目．