Question

17．f（x）=-$\frac{1}{3}$×4^-x+1+b，等比数列{a_n}的前n项和为S_n，点P_n（n，S_n）（n∈N^*）均在函数y=f（x）上．
（1）求b的值及数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=log₂（8³×a_n），记数列{b_n}的前n项和为T_n，是否存在k∈N^*，使得$\frac{{T}_{1}}{1}$+$\frac{{T}_{2}}{2}$+…+$\frac{{T}_{n}}{n}$＜k对任意n∈N^*恒成立？若存在，求出k的最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）通过将点P_n（n，S_n）（n∈N^*）代入函数y=f（x）可知S_n=-$\frac{1}{3}$×4^-n+1+b，当n≥2时利用a_n=S_n-S_n-1可知公比q=$\frac{1}{4}$，利用$\frac{1}{4}$=$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$计算可知b=$\frac{4}{3}$；
（2）通过（1）可知a_n=2^-2n+2，从而b_n=-2n+11，进而可知配方可知$\frac{{T}_{1}}{1}$+$\frac{{T}_{2}}{2}$+…+$\frac{{T}_{n}}{n}$=-$\frac{1}{2}$$（n-\frac{19}{2}）^{2}$+$\frac{1}{2}$•$\frac{361}{4}$，从而当n=9或10时$\frac{{T}_{1}}{1}$+$\frac{{T}_{2}}{2}$+…+$\frac{{T}_{n}}{n}$取最大值，计算即得结论．

解答 解：（1）依题意，S_n=-$\frac{1}{3}$×4^-n+1+b，
当n≥2时，S_n-1=-$\frac{1}{3}$×4^-n+2+b，
∴a_n=S_n-S_n-1=-$\frac{1}{3}$×4^-n+1+$\frac{1}{3}$×4^-n+2=4^-n+1，
∴q=$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{{4}^{-n}}{{4}^{-n+1}}$=$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{1}{4}$=$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=$\frac{{4}^{-2+1}}{-\frac{1}{3}×{4}^{-1+1}+b}$=$\frac{\frac{1}{4}}{b-\frac{1}{3}}$，即b=$\frac{4}{3}$，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=4^-n+1；
（2）结论：存在k∈N^*，使得$\frac{{T}_{1}}{1}$+$\frac{{T}_{2}}{2}$+…+$\frac{{T}_{n}}{n}$＜k对任意n∈N^*恒成立．
理由如下：
由（1）可知a_n=4^-n+1=2^-2n+2，
∴8³×a_n=2⁹×2^-2n+2=2^-2n+11，
∴b_n=log₂（8³×a_n）=log₂2^-2n+11=-2n+11，
∴T_n=-2•$\frac{n（n+1）}{2}$+11n=-n²+10n，
∴$\frac{{T}_{n}}{n}$=$\frac{-{n}^{2}+10n}{n}$=10-n，
∴$\frac{{T}_{1}}{1}$+$\frac{{T}_{2}}{2}$+…+$\frac{{T}_{n}}{n}$=10n-$\frac{n（n+1）}{2}$=-$\frac{1}{2}$n²+$\frac{19}{2}$n=-$\frac{1}{2}$$（n-\frac{19}{2}）^{2}$+$\frac{1}{2}$•$\frac{361}{4}$，
∴当n=9或10时$\frac{{T}_{1}}{1}$+$\frac{{T}_{2}}{2}$+…+$\frac{{T}_{n}}{n}$取最大值-$\frac{1}{2}$×10²+$\frac{19}{2}$×10=45，
∴存在k∈N^*，使得$\frac{{T}_{1}}{1}$+$\frac{{T}_{2}}{2}$+…+$\frac{{T}_{n}}{n}$＜k对任意n∈N^*恒成立，
且k的最小值为45．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．