Question

13．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c满足：cosAcosC+sinAsinC+cosB=$\frac{3}{2}$，且a、b、c成等比数列．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若$\frac{a}{tanA}$+$\frac{c}{tanC}$=$\frac{2b}{tanB}$，a=2，判断三角形形状．

Answer 1

分析 （1）化简条件可得2sinAsinC=$\frac{3}{2}$，再由b²=ac求得2sin²B=$\frac{3}{2}$．根据b不是最大边，可得B为锐角，从而求得B的值．
（2）由条件可得 $\frac{acosA}{sinA}$+$\frac{ccosC}{sinC}$=$\frac{2bcosB}{sinB}$，cosA+cosC=2cosB=1，求得 A=C=$\frac{π}{3}$，可得三角形为等边三角形．

解答 解：（1）∵cosAcosC+sinAsinC+cosB=$\frac{3}{2}$，
∴2sinAsinC=$\frac{3}{2}$．
又∵b²=ac⇒sin²B=sinAsinC，
∴2sin²B=$\frac{3}{2}$．
而a，b，c成等比数列，所以b不是最大，故B为锐角，所以B=60°．
（2）由$\frac{a}{tanA}$+$\frac{c}{tanC}$=$\frac{2b}{tanB}$，可得  $\frac{acosA}{sinA}$+$\frac{ccosC}{sinC}$=$\frac{2bcosB}{sinB}$，
所以cosA+cosC=2cosB=1，又因为A+C=$\frac{2π}{3}$，∴A=C=$\frac{π}{3}$，
所以三角形ABC是等边三角形，

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系、正弦定理的应用，属于中档题．