题目内容
(本小题满分15分)设
为数列
的前
项和,
(
为常数且
,
).
(Ⅰ)若
,求
的值;
(Ⅱ)对于满足(Ⅰ)中的
,数列
满足
,且
.若不等式
对任意
恒成立,求实数
的取值范围.







(Ⅰ)若


(Ⅱ)对于满足(Ⅰ)中的







(Ⅰ)因为
,
所以
,
,
.………4分
由
可知:
.
所以
,
,
.
因为
, 所以
.
所以
. ……7分
(Ⅱ)因为
, 所以
.
所以
,即
.…………9分
因为
,即
. 可得:
. ………10分
因为
,且
,
所以
. ……………12分
因为不等式
对任意
恒成立,
所以
对任意
恒成立. ……………13分
因为
,且
时,
取得最大值
,
所以
. 所以
的取值范围是
. ………15分

所以



由


所以



因为


所以

(Ⅱ)因为


所以


因为



因为


所以


因为不等式


所以


因为




所以



(1)先求出
,进而求出
,
,再根据
,建立关于
的方程求解即可.
(II)在(I)的基础上,
,然后根据此式,可求得
,从而求出
,
采用叠加的方法求得
,
从而把不等式
对任意
恒成立转化为
对任意
恒成立的常规问题解决.
解:(Ⅰ)因为
,
所以
,
,
.………4分
由
可知:
.
所以
,
,
.
因为
, 所以
.
所以
. ……7分
(Ⅱ)因为
, 所以
.
所以
,即
.…………9分
因为
,即
. 可得:
. ………10分
因为
,且
,
所以
. ……………12分
因为不等式
对任意
恒成立,
所以
对任意
恒成立. ……………13分
因为
,且
时,
取得最大值
,
所以
. 所以
的取值范围是
. ………15分





(II)在(I)的基础上,





从而把不等式




解:(Ⅰ)因为

所以



由


所以



因为


所以

(Ⅱ)因为


所以


因为



因为


所以


因为不等式


所以


因为




所以




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