题目内容
【题目】已知是抛物线
的焦点,
为抛物线
上不同的两点,
分别是抛物线
在点
、点
处的切线,
是
的交点.
(1)当直线经过焦点
时,求证:点
在定直线上;
(2)若,求
的值.
【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ) .
【解析】试题分析: (1)利用导数的几何意义,分别求出切线PA,PB的斜率,再写出直线方程,求出交点P的坐标,联立直线AB的方程和抛物线方程,求出 ,即P点纵坐标为定值
,得证; (2)假设直线AB的方程
,联立直线和抛物线方程,求出
,由两点间的距离公式,得到
,化简
,得出值.
试题解析:(Ⅰ)抛物线,则
,
∴切线的方程为
,即
,同理切线
的方程为
,
联立得点
, 设直线
的方程为
,代入
得
。所以
所以点
在直线
上
(Ⅱ) 设直线的方程为
,代入
得
。
,所以
,
点睛:本题主要考查直线与抛物线位置关系, 属于中档题. 本题思路): (1)由导数求出切线PA,PB方程, 得出交点P坐标, 联立直线AB的方程和抛物线方程, 由韦达定理得出 为定值,即点P纵坐标为定值; (2) 假设直线AB的方程
,联立直线和抛物线方程,由
,求出
之间的关系,化简
,将
之间的关系代入,求出值.
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