题目内容
【题目】在如图所示的几何体中,底面ABCD中,AB⊥AD,AD=2,AB=3,BC=BE=7,△DCE是边长为6的正三角形.
(1)求证:平面DEC⊥平面BDE;
(2)求点A到平面BDE的距离.
【答案】(1)见解析;(2).
【解析】试题分析:(1)由勾股定理及逆定理可得,从而有线面垂直,于是可得面面垂直;
(2)到平面的距离可用体积法求得, .
试题解析:
(1)证明 因为AB⊥AD,AD=2,AB=3,所以BD=,
又因为BC=7,CD=6,所以根据勾股定理可得BD⊥CD,
因为BE=7,DE=6,同理可得BD⊥DE.
因为DE∩CD=D,DE平面DEC,CD平面DEC,
所以BD⊥平面DEC.因为BD平面BDE,
所以平面DEC⊥平面BDE.
(2)解 如图,取CD的中点O,连接OE,
因为△DCE是边长为6的正三角形,
所以EO⊥CD,EO=3,
易知EO⊥平面ABCD,
则VE-ABD=××2×3×3=3,
又因为直角三角形BDE的面积为×6×=3,
设点A到平面BDE的距离为h,则由VE-ABD=VA-BDE,
得×3h=3,所以h=,所以点A到平面BDE的距离为.
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