题目内容
已知函数f(n)=n2sin
,且an=f(n)+f(n+1),则a1+a2+a3+…+a2014=______.
nπ |
2 |
∵f(n)=n2sin
,
∴an=f(n)+f(n+1)=n2sin
+(n+1)2sin
=n2sin
+(n+1)2cos
,
∴a1=1,
a2=a3=-32,
a4=a5=52,
a6=a7=-72,
…
a2012=a2013=20132,
a2014=-20152.
∴a1+a2+a3+…+a2014
=(a1+a3+…+a2013)+(a2+a4+…+a2014)
=[(1-32)+(52-72)+…+(20092-20112)+20132]+[(-32+52)+(-72+92)+…+(-20112+20132)-20152]
=-2(4+12+20+…+4020)+20132+2(8+16+…+4024)-20152
=-2×
+2×
-20152+20132
=503×8-2×4028
=-4032.
nπ |
2 |
∴an=f(n)+f(n+1)=n2sin
nπ |
2 |
(n+1)π |
2 |
nπ |
2 |
nπ |
2 |
∴a1=1,
a2=a3=-32,
a4=a5=52,
a6=a7=-72,
…
a2012=a2013=20132,
a2014=-20152.
∴a1+a2+a3+…+a2014
=(a1+a3+…+a2013)+(a2+a4+…+a2014)
=[(1-32)+(52-72)+…+(20092-20112)+20132]+[(-32+52)+(-72+92)+…+(-20112+20132)-20152]
=-2(4+12+20+…+4020)+20132+2(8+16+…+4024)-20152
=-2×
(4+4020)×503 |
2 |
(8+4024)×503 |
2 |
=503×8-2×4028
=-4032.
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