题目内容

已知函数f(n)=n2sin
2
,且an=f(n)+f(n+1),则a1+a2+a3+…+a2014=______.
∵f(n)=n2sin
2

∴an=f(n)+f(n+1)=n2sin
2
+(n+1)2sin
(n+1)π
2
=n2sin
2
+(n+1)2cos
2

∴a1=1,
a2=a3=-32
a4=a5=52
a6=a7=-72

a2012=a2013=20132
a2014=-20152
∴a1+a2+a3+…+a2014
=(a1+a3+…+a2013)+(a2+a4+…+a2014
=[(1-32)+(52-72)+…+(20092-20112)+20132]+[(-32+52)+(-72+92)+…+(-20112+20132)-20152]
=-2(4+12+20+…+4020)+20132+2(8+16+…+4024)-20152
=-2×
(4+4020)×503
2
+2×
(8+4024)×503
2
-20152+20132
=503×8-2×4028
=-4032.
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